会社で雇用している外国人の在留期間の更新は、どのような場合に許可されるのでしょうか?

外国人の在留期間の更新は、一定の条件の下で、法務大臣の裁量で判断されます。

在留期間の更新を許可するかどうかは、法務大臣の自由な裁量に委ねられます。「在留資格の変更、在留期間の更新許可のガイドライン」(出入国在留管理庁。平成30年3月策定)を考慮して、申請者の行おうとする活動、在留の状況、在留の必要性等を総合的に判断します。

代表的には、以下の項目が考慮されます。
①は必要条件、②は原則必要条件です。

①行おうとする活動が、申請に係る入管法別表に掲げる在留資格に該当すること(必要条件)

②法務省令で定める上陸許可基準等に適合していること(原則必要条件)

③素行が不良でないこと

④独立の生計を営むに足りる資産又は技能を有すること

⑤雇用労働条件が適正であること

⑥納税義務を履行していること

⑦入管法に定める届出等の義務を履行していること
在留期間中、同一の企業で働いており、在留期間の更新後も同企業で働く場合には、更新の判断にあたり最低限の資料提出ですむことが多いです。
他方、在留期間中に転職した場合には、在留期間の更新の際に、転職後の企業の書類をたくさん出さなければなりません。それを避けるために、転職時に、就労資格証明書を取っておくことをお勧めします。